题目内容

【题目】请阅读下列材料,并完成相应的任务:

阿基米德折弦定理

阿基米德(archimedes,公元前287﹣公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一,他与牛顿、高斯并成为三大数学王子.

阿拉伯Al﹣Binmi(973﹣1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理.

阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BCAB,M是的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.

M是的中点,MA=MC.

任务:

(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;

(2)填空:如图3,已知等边ABC内接于O,AB=2,D为上一点,ABD=45°,AEBD于点E,则BDC的周长是

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)首先证明MBA≌△MGC(SAS),进而得出MB=MG,再利用等腰三角形的性质得出BD=GD,即可得出答案;

(2)首先证明ABFACD(SAS),进而得出AF=AD,以及CD+DE=BE,进而求出DE的长即可得出答案.

试题解析:(1)证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.

M是的中点,MA=MC.

MBA和MGC中BA=GC,A=C,MA=MC∴△MBA≌△MGC(SAS),MB=MG,又MDBC,BD=GD,DC=GC+GD=AB+BD;

(2)解:如图3,截取BF=CD,连接AF,AD,CD,由题意可得:AB=AC,ABF=ACD,在ABF和ACD中AB=AC,ABF=ACD,BF=DC∴△ABFACD(SAS),AF=AD,AEBD,FE=DE,则CD+DE=BE,∵∠ABD=45°,BE==,则BDC的周长是.故答案为:

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