Question

如图，以BC为直径作Rt△ABC的外接圆，圆心为点P，在△ABC的同侧又作正方形BCEF，BE、CF交于点为O，连接AO．
（1）求证：点O在⊙P上且∠BAO=135°；
（2）如果AB=2，AO=4，求BO及AC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OP．根据正方形的性质、直角三角形的性质和圆周角定理的推论进行求解；
（2）过O作OK⊥BA延长线于K．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理进行计算．
解答：（1）证明：连接OP．
∵四边形BCEF是正方形，
∴BE⊥CF，OB=OC．
∵P是BC的中点，
∴OP=BC．
∵BC是圆的直径，
∴点O在圆上．
∴∠BAO=90°+45°=135°．

（2）解：过O作OK⊥BA延长线于K．
∵AO=4，
∴∠BAO=135°，
∴∠OAK=45°，
∴AK=OK=4．
根据勾股定理，得
BO=2，
∴AC=10．
点评：此题综合运用了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理．