Question

如图1，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形．如图2，点P是边BC上一点，PH⊥BC交BD于点H，连接AP交BD于点E，点F为DH中点，连接AF．
（1）求证：四边形ABCD为正方形；
（2）当点P在线段BC上运动时，∠PAF的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF的值；若变化，请说明理由；
（3）求证：BE²+DF²=EF²．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出AD=AB=DC=BC，∠A=90°，根据正方形的判定推出即可．
（2）连接PF，并延长PF交CD的延长线于M，连接AM，证△FHP≌△FDM，推出PF=MF，PH=DM，求出BP=PH=DM，证△ABP≌△ADM，推出AP=AM，∠BAP=∠MAD，得出△PAM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形推出即可．
（3）在AM上截取AN=AE，连接NF，证△BAE≌△DAN，推出BE=DN，∠ABE=∠ADN=45°=∠ADF，求出∠NDF=90°，在Rt△DNF中，由勾股定理求出ND²+DF²=NF²，证△NAF≌△EAF，推出EF=FN，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形；

（2）解：不变化，
理由是：连接PF，并延长PF交CD的延长线于M，连接AM，如图2，
∵∠C=90°，PH⊥BC，
∴∠C=∠HPB=90°，
∴PH∥CD，
∴∠PHF=∠MDF，
∵F为DH中点，
∴HF=DF，
在△FHP和△FDM中

∠FHP=∠MDF HF=DF ∠HFP=∠MFD

∴△FHP≌△FDM，
∴PF=MF，PH=DM，
∵PH⊥BC，
∴∠HPB=90°，
∵BC=CD，∠C=90°，
∴∠HBP=45°，
∴∠BHP=45°=∠HBP，
∴BP=PH，
∴DM=BP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABP=∠ADM=90°，
在△ABP和△ADM中

AB=AD ∠ABP=∠ADM BP=DM

∴△ABP≌△ADM（SAS），
∴AP=AM，∠BAP=∠MAD，
∵∠DAB=90°，
∴∠MAP=∠MAD+∠DAP=∠BAP+∠DAP=∠DAB=90°，
∴△PAM是等腰直角三角形，
∵PF=MF，
∴∠EAF=∠MAF=

1

2

∠MAP=45°，
即当点P在线段BC上运动时，∠PAF的大小不会发生变化，∠PAF的值永远是45°；


（3）证明：在AM上截取AN=AE，连接NF，如图3，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵在△BAE和△DAN中

AB=AD ∠BAE=∠DAN AE=AN

∴△BAE≌△DAN（SAS），
∴BE=DN，∠ABE=∠ADN=45°=∠ADF，
∴∠NDF=45°+45°=90°，
在Rt△DNF中，由勾股定理得：ND²+DF²=NF²，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠NAF=∠NAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°-45°=45°，
∴∠NAF=∠EAF=45°，
在△NAF和△EAF中

AN=AE ∠NAF=∠EAF AF=AF

∴△NAF≌△EAF（SAS），
∴EF=FN，
∵ND²+DF²=NF²，DN=BE，
∴BE²+DF²=EF²．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，正方形性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．