Question

（2005•郴州）附加题：如图1，菱形纸片ABCD中，AB=1，∠B=60°，将纸片翻折（如图2），使D点落在AD所在直线上，并可在直线AD上运动，折痕为EF．当＜DE＜1时，设AB与DC相交于点G（如图）．
（1）线段AD与DG相等吗？△ADG与△BCG的面积之和是否随着DE的变化而变化？为什么？
（2）设AD=x，重叠部分（图3中阴影部分）的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围以及面积y的取值范围．?

Answer 1

【答案】分析：（1）根据菱形性质，∠B=∠D=60°，又AD∥BC，不难得出△ADG为等边三角形，故AD=DG，可证△DAG、△BCG都为等边三角形，设AD=x，则有BC=1-x，用等边三角形计算面积的方法求解．
（2）平行四边形面积可以理解为S_△ADG+S_△BCG+2S_阴影部分．
解答：解：（1）AD=DG．理由如下：
∵∠D=60°，∠DAB=∠B=60°
∴△DAG为等边三角形
∴AD=DG
△ADG与△BCG的面积和会随DE的变化而变化
设AD=x，则有BC=1-x
∵△DAG为等边三角形
∴△BCG也为等边三角形
∴S_△ADG+S_△BCG=x²+（1-x）²=（2x²-2x+1）随x的变化而变化．

（2）∵2y=2××1²-x²-（1-x）²
∴y=-x²+x+（0＜x＜1，＜y≤）．
点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的面积表示方法，用割补法表示阴影部分的面积等问题．