Question

如图，以矩形OCPD的顶点O为原点,它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系.以点P为圆心, PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点,函数y=ax²+bx+4过A，B，C三点且AB=6.
 
⑴求⊙P的半径R的长；
⑵若点E在y轴上，且△ACE是等腰三角形，试写出所有点E的坐标；

Answer 1

（1）；（2），，，

试题分析：（1）在函数y=ax²+bx+4中令x=0，解得y=4，则OC=PD=4，连接PA，在直角三角形△PAD中，根据勾股定理就可以得到PA的长．即圆的半径；
（2）根据等腰三角形的性质，把AC分别看作底和腰进行讨论.
（1）如图，连接AP

∵四边形ODPC为矩形
∴PD⊥AB
∴AD=BD=AB=3
又∵抛物线y=ax²+bx+4经过A，B，C三点
∴C（0，4）
即OC=4
∴PD=OC=4
∴由勾股定理得AP=5
∴⊙P的半径R的长为5；
（2）由（1）得OA=2，OC=4，则，
∵△ACE是等腰三角形，
∴，，，
点评：解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.