题目内容
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于点E.
(1)如图1,连接EC,求证:△EBC是等边三角形;
(2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系;
(3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G,且MB=MG.试探究ND,DG与AD数量之间的关系,并说明理由.
【答案】
(1)证明:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴,,∵BD平分∠ABC,∴,∴,∵DE⊥AB于点E,∴,∴,∴△BCE是等边三角形
(2)AD = DG+DM
(3)AD = DG-DN
【解析】
试题分析:(1)要证明△BCE是等边三角形,首先要知道BC和BE相等,由于已给出,所以要证明,只需证明,利用题目中给出的数据,可以很容易求出。(2)由于,且,所以△MGB是等边三角形,做GF交DB于点F,所以△DFG为等边三角形,所以,又,,所以△MDG≌△BFG,所以,又,,而,所以
(3)延长BD至H,使得,由(1)得,,∵DE⊥AB于点E,∴,∴,∴△NDH是等边三角形,∴,,∴,∵,∴,即,在△DNG和△HNB中,,,,∴△DNG≌△HNB,∴DG=HB,∵HB=HD+DB=ND+AD,∴DG= ND+AD,∴AD = DG-ND
考点:其中一个锐角为30度的直角三角形的特殊性
点评:本题较为复杂,第一问通过直角三角形的特殊性,可以较容易解出来
练习册系列答案
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在Rt△ABC中,已知a及∠A,则斜边应为( )
A、asinA | ||
B、
| ||
C、acosA | ||
D、
|
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,且AD:BD=9:4,则AC:BC的值为( )
A、9:4 | B、9:2 | C、3:4 | D、3:2 |