题目内容
从甲，乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．题甲：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G．
（1）求证：
| GE |
| GB |
| AE |
| BC |
（2）若GE=2，BF=3，求线段EF的长．
题乙：如图，反比例函数y=
| k |
| x |
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M，N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取
值范围．
分析：甲：（1）因为AD∥BC，所以△GED∽△GBC，所以两三角形的对应边成比例；又点E是边AD的中点，AE=ED．此题得证
（2）AD∥BC还可以得到△AEF∽△CBF，又AE=ED，通过等量代换即可得到GE、GB、EF、FB之间的关系．
乙：（1）图象经过A（-1，-4），可用待定系数法求解．
（2）考虑经过原点并且在同一直线上，也就成了线段MN．
（2）AD∥BC还可以得到△AEF∽△CBF，又AE=ED，通过等量代换即可得到GE、GB、EF、FB之间的关系．
乙：（1）图象经过A（-1，-4），可用待定系数法求解．
（2）考虑经过原点并且在同一直线上，也就成了线段MN．
解答：甲题：
（1）证明：∵AD∥BC
∴△GED∽△GBC（2分）
∴
=
（3分）
又∵点E是边AD的中点
∴AE=ED
∴
=
（4分）
（2）解：∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴
=
（5分）
由（1）知
=
∴
=
（6分）
设EF=x，则GB=5+x，
则有
=
（8分）
即x2+5x-6=0
解得：x=1或x=-6，
经检验，x=1或x=-6都是原方程的根，但x=-6不合题意，舍去．
故EF的长为1．（9分）
乙题：
解：（1）因为反比例函数的图象经过点（-1，-4）
有-4=
（2分）
∴k=4（3分）
所以反比例函数的解析式为y=
．（4分）
（2）当M，N为-，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．（5分）
将y=x代入y=
，
解得
，
即M（2，2），N（-2，-2）．（6分）
∴OM=2
．（7分）
则MN=4
．（8分）
又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，
由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4
．（9分）
（1）证明：∵AD∥BC
∴△GED∽△GBC（2分）
∴
| GE |
| GB |
| ED |
| BC |
又∵点E是边AD的中点
∴AE=ED
∴
| GE |
| GB |
| AE |
| BC |
（2）解：∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴
| AE |
| BC |
| EF |
| BF |
由（1）知
| GE |
| GB |
| AE |
| BC |
∴
| EF |
| BF |
| GE |
| GB |
设EF=x，则GB=5+x，
则有
| x |
| 3 |
| 2 |
| 5+x |
即x2+5x-6=0
解得：x=1或x=-6，
经检验，x=1或x=-6都是原方程的根，但x=-6不合题意，舍去．
故EF的长为1．（9分）
乙题：
解：（1）因为反比例函数的图象经过点（-1，-4）
有-4=
| k |
| -1 |
∴k=4（3分）
所以反比例函数的解析式为y=
| 4 |
| x |
（2）当M，N为-，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．（5分）
将y=x代入y=
| 4 |
| x |
解得
|
|
即M（2，2），N（-2，-2）．（6分）
∴OM=2
| 2 |
则MN=4
| 2 |
又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，
由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4
| 2 |
点评：题甲：主要考查相似三角形对应边成比例，点E是边AD的中点得AE=ED是突破口
题乙：主要考查待定系数法求反比例函数解析式，猜想时首选经过原点．
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