Question

在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

Answer 1

分析：（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；
（2）△POD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可；
（3）结合（2），可知⊙O的半径也需根据点P的不同位置进行分类讨论．

解答：解：（1）∵B与A（1，0）关于原点对称
∴B（-1，0）
∵y=x+b过点B
∴-1+b=0，b=1
∴y=x+1
当y=4时，x+1=4，x=3
∴D（3，4）；

（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4，
∴OD=

OE2+DE2

=

32+42

=5．
若△POD为等腰三角形，则有以下三种情况：
①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P₁，则OP₁=OD=5，
∴P₁（5，0）．
②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P₂，则DP₂=DO=5，
∵DE⊥OP₂
∴P₂E=OE=3，
∴OP₂=6，
∴P₂（6，0）．
③取OD的中点N，过N作OD的垂线交x轴的正半轴于点P₃，则OP₃=DP₃，
易知△ONP₃∽△DCO．
∴

OP3

OD

=

ON

DC

．
∴

OP3

5

=

5 2

3

，OP₃=

25

6

．
∴P₃（

25

6

，0）．
综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P₁（5，0），P₂（6，0），P₃（

25

6

，0）．

（3）①当P₁（5，0）时，P₁E=OP₁-OE=5-3=2，OP₁=5，
∴P₁D=

P1E2+DE2

=

22+42

=2

5

．
∴⊙P的半径为2

5

．
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为5-2

5

．
②当P₂（6，0）时，P₂D=DO=5，OP₂=6，
∴⊙P的半径为5．
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为1．
③当P₃（

25

6

，0）时，P₃D=OP₃=

25

6

，
∴⊙P的半径为

25

6

．
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为0，即此圆不存在．

点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，注意到分情况讨论是解决本题的关键．