Question

【题目】已如如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)、点B的坐标为(0，8)，点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．

（1）写出点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；

（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）B'(﹣4，0)，y＝﹣x+3；（2）D(2，2)；（3）点P的运动时间为1秒或5﹣秒

【解析】

（1）由题意求出，根据与关于直线对称，求出坐标，设点，求出，设直线的解析式为，把A，C代入可得AC表达式；

（2）由已知可得是等腰直角三角形，过点作轴，轴，证明 ，得出，设点代入中，即可求出点D坐标；

（3）由（2）可得，证明，得到，分①当时，②当时，③当时，三种情况分别进行讨论.

解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），

∴OA＝6，OB＝8，

∵∠AOB＝90°，

∴AB＝10，

∵B与B′关于直线AC对称，

∴AC垂直平分BB′，

∴BC＝CB′，AB'＝AB＝10，

∴B′（﹣4，0），

设点C（0，m），

∴OC＝m，

∴CB′＝CB＝8﹣m，

∵在Rt△COB′中，∠COB′＝90°，

∴m2+16＝（8﹣m）2，

∴m＝3，

∴C（0，3），

设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝-，b＝3，

∴y＝-x+3；

（2）∵AC垂直平分BB′，

∴DB＝DB′，

∵△BDB′是等腰直角三角形，

∴∠BDB′＝90°，

过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，

∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB′＝90°，

∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，

∴∠EDF＝90°，

∴∠EDF＝∠BDB′，

∴∠BDF＝∠EDB′，

∴△FDB≌△EDB′（AAS），

∴DF＝DE，

设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中，

∴a＝2，

∴D（2，2）；

（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，

∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE＝90°，

∴△PDF≌△QDE（AAS），

∴PF＝QE，

①当DQ＝DA时，

∵DE⊥x轴，

∴QE＝AE＝4，

∴PF＝QE＝4，

∴BP＝BF﹣PF＝2，

∴点P运动时间为1秒；

②当AQ＝AD时，

∵A（6，0）、D（2，2），

∴AD＝2，

∴AQ＝2﹣4，

∴PF＝QE＝2﹣4，

∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，

∴点P的运动时间为5﹣秒；

③当QD＝QA时，

设QE＝n，

则QD＝QA＝4﹣n，

在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，

∴4+n2＝（4﹣n）2，

∴n＝1.5，

∴PF＝QE＝1.5，

∴BP＝BF+PF＝7.5，

∴点P的运动时间为7.5秒，

∵0≤t≤4，

∴t＝7.5舍去，

综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒．