Question

小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如下图，根据勾股定理，则a²+b²=c²．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论．〔下图备用）

Answer 1

解：①当三角形是锐角三角形时，
证明：作AD⊥BC垂足是D，设CD的长为x，
根据勾股定理得：b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
整理得：a²+b²=c²+2ax
∵2ax＞0
∴a²+b²＞c²

②当三角形为钝角三角形时
证明：过B点作AC的垂线交AC于D点，设CD的长为y
在直角三角形ABD中，AD²=c²-（a+y）²
在直角三角形ADC中，AD²=b²-y²，
∴b²-y²=c²-（a+y）²
整理得：a²+b²=c²-2ay
∵2ay＞0，∴a²+b²＜c²．

所以：①在锐角三角形中，a²+b²＞c²．
②在钝角三角形中，a²+b²＜c²．
分析：根据题意要分锐角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股定理作出证明．
点评：作出高转化到直角三角形中去，利用勾股定理得出结论．