题目内容

(2009•哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.

【答案】分析:(1)已知A点的坐标,就可以求出OA的长,根据OA=OC,就可以得到C点的坐标,根据待定系数法就可以求出函数解析式.
(2)点P的位置应分P在AB和BC上,两种情况进行讨论.当P在AB上时,△PMB的底边PB可以用时间t表示出来,高是MH的长,因而面积就可以表示出来.
(3)本题可以分两种情况进行讨论,当P点在AB边上运动时:设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K,证明△AQP∽△CQO,根据相似三角形的对应边的比相等,以及勾股定理可以求出AQ,QC的长,在直角△OHB中,根据勾股定理,可以得到tan∠OQC.
当P点在BC边上运动时,可证△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出OK,KQ就可以求出.
解答:解:(1)过点A作AE⊥x轴垂足为E,如图(1)
∵A(-3,4),
∴AE=4 OE=3,
∴OA==5,
∵四边形ABCO为菱形,
∴OC=CB=BA=0A=5,
∴C(5,0)(1分)
设直线AC的解析式为:y=kx+b,


∴直线AC的解析式为y=-x+.(1分)

(2)由(1)得M点坐标为(0,),
∴OM=
如图(1),当P点在AB边上运动时
由题意得OH=4,
∴HM=OH-OM=4-=
∴s=BP•MH=(5-2t)•
∴s=-t+(0≤t<),2分
当P点在BC边上运动时,记为P1
∵∠OCM=∠BCM,CO=CB,CM=CM,
∴△OMC≌△BMC,
∴OM=BM=,∠MOC=∠MBC=90°,
∴S=P1B•BM=(2t-5)
∴S=t-<t≤5),2分

(3)设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K,
∵∠AOC=∠ABC,
∴∠AOM=∠ABM,
∵∠MPB+∠BCO=90°,∠BAO=∠BCO,∠BAO+∠AOH=90°,
∴∠MPB=∠AOH,
∴∠MPB=∠MBH.
当P点在AB边上运动时,如图(2)
∵∠MPB=∠MBH,
∴PM=BM,
∵MH⊥PB,
∴PH=HB=2,
∴PA=AH-PH=1,
∴t=,(1分)
∵AB∥OC,
∴∠PAQ=∠OCQ,
∵∠AQP=∠CQO,
∴△AQP∽△CQO,
==
在Rt△AEC中,AC===4
∴AQ=,QC=
在Rt△OHB中,OB===2
∵AC⊥OB,OK=KB,AK=CK,
∴OK=,AK=KC=2
∴QK=AK-AQ=
∴tan∠OQC==,(1分)
当P点在BC边上运动时,如图(3),
∵∠BHM=∠PBM=90°,∠MPB=∠MBH,
∴tan∠MPB=tan∠MBH,
=,即=
∴BP=
∴t=,(1分)
∴PC=BC-BP=5-
由PC∥OA,同理可证△PQC∽△OQA,
=
=
CQ=AC=
∴QK=KC-CQ=
∵OK=
∴tan∠OQK=.(1分)
综上所述,当t=时,∠MPB与∠BCO互为余角,直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为
当t=时,∠MPB与∠BCO互为余角,直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1.
点评:本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式,求三角函数值的问题可以转化为求直角三角形的边的比的问题.
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