Question

如图，已知在△ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交外接圆于M，求证：M为优弧

AB

的中点．

Answer 1

分析：延长AC至E，使CE=BC，连MA，MB，ME，BE，由AD=DC+CB，得AD=DC+CE=DE，则∠1=∠3，而AD⊥AE，得到MA=ME；再由CE=CB，得∠2=∠5，而∠3=∠4=∠1，得到∠MBE=∠MEB，则ME=MB，于是有MA=MB，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到M为优弧

AB

的中点．

解答：证明：延长AC至E，使CE=BC，连MA，MB，ME，BE，如图，
∵AD=DC+CB，
∴AD=DC+CE=DE，
∴∠1=∠3，
而MD⊥AE，
∴MA=ME；
又∵CE=CB，
∴∠2=∠5，
∵∠3=∠4=∠1，
∴∠1+∠2=∠4+∠5，
即∠MBE=∠MEB，
∴ME=MB，
∴MA=MB，
∴弧MA=弧MB，
∴M为优弧

AB

的中点．

点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查等腰三角形的判定与性质以及圆周角定理的推论．