题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以
2个单位/秒的速度向点O 移动．设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？
（2）当t为何值时，PQ⊥OB？
（3）当t为何值时，PQ∥AB？
（4）当t为何值时，△OPQ是等腰三角形？
分析：点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，3），则一定有BC∥OA．则四边形ABCO是直角梯形．
（1）PQ平分四边形OABC的面积，则四边形OQPC的面积即可求解，且这个四边形的直角梯形或矩形，据此即可得到一个关于t的方程，即可求解；
（2）△PMQ∽△BCO时，PQ⊥OB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；
（3）当PQ∥AB时，四边形ABPQ是平行四边形，即BP=AQ，据此即可求解；
（4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F，则OF=QF，根据勾股定理即可求解．
（1）PQ平分四边形OABC的面积，则四边形OQPC的面积即可求解，且这个四边形的直角梯形或矩形，据此即可得到一个关于t的方程，即可求解；
（2）△PMQ∽△BCO时，PQ⊥OB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；
（3）当PQ∥AB时，四边形ABPQ是平行四边形，即BP=AQ，据此即可求解；
（4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F，则OF=QF，根据勾股定理即可求解．
解答：解：（1）由题意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3
∴梯形OABC的面积=
×（4+8）×3=18
当PQ平分四边形OABC的面积时
×（t+8-2t）×3=9
解得t=2
即当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积（3分）
（2）当PQ⊥OB时，作PM⊥OA于点M，易证△PMQ∽△BCO
∴
=
，
∴
=
解得：t=
即：当t=
时，PQ⊥OB．（6分）
（3）当PQ∥AB时，
BP=AQ
∴4-t=2t
解得t=
即当t=
时，PQ∥AB（9分）
（4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F
则OF=QF
4t=8
t=2
OP=OQ时，
32+t2=（8-2t）2
解得t1=
（不合题意，舍去）
t2=
∴t=
当QO=QP时
32+（8-3t）2=（8-2t）2
解得t1=
t2=
．
综上所述：当t=2或t=
或t=
或t=
时，△OPQ是等腰三角形．
∴梯形OABC的面积=
| 1 |
| 2 |
当PQ平分四边形OABC的面积时
| 1 |
| 2 |
解得t=2
即当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积（3分）
（2）当PQ⊥OB时，作PM⊥OA于点M，易证△PMQ∽△BCO
∴
| PM |
| BC |
| QM |
| CO |
∴
| 3 |
| 4 |
| 8-3t |
| 3 |
解得：t=
| 23 |
| 12 |
即：当t=
| 23 |
| 12 |
（3）当PQ∥AB时，
BP=AQ
∴4-t=2t
解得t=
| 4 |
| 3 |
即当t=
| 4 |
| 3 |
（4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F
则OF=QF
4t=8
t=2
OP=OQ时，
32+t2=（8-2t）2
解得t1=
16+
| ||
| 3 |
t2=
16-
| ||
| 3 |
∴t=
16-
| ||
| 3 |
当QO=QP时
32+（8-3t）2=（8-2t）2
解得t1=
8+
| ||
| 5 |
t2=
8-
| ||
| 5 |
综上所述：当t=2或t=
16-
| ||
| 3 |
8+
| ||
| 5 |
8-
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查了平行四边形，相似三角形的性质，勾股定理的应用，正确理解平行四边形的判定方法，从而把问题转化为方程问题是解题的关键．
练习册系列答案
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