Question

如图，在直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12

3

cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点A开始沿AO以2

3

cm/s的速度向点O移动，移动时间为t s（0＜t＜6）．
（1）求∠OAB的度数；
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从A、A、B同时移动，当t=4s时，试说明四边形BRPQ为菱形；
（4）在（3）的条件下，以R为圆心，r为半径作⊙R，当r不断变化时，⊙R与菱形BRPQ各边的交点个数将发生变化，随当交点个数发生变化时，请直接写出r的对应值或取值范围．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的长，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度数；
（2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，易证得△OO′P≌△MO′P，则∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知了P点的运动速度，即可根据时间=路程÷速度求得t的值；
（3）分别求得BR、AP、BR的长，依据依据平行线分线段成比例定理的逆定理即可证得四边形BRPQ是平行四边形，然后在直角三角形OPR中，利用勾股定理求得BR的长，从而证明BR=PR，即可证得；
（4）根据（3）可以得到四边形BRPQ是菱形，则△BPQ是等边三角形，据此即可求得R到四边形的边的距离，从而判断．

解答：解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=

OB

OA

=

12

12 3

=

3

3

，
∴∠OAB=30°．

（2）如图，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P=6tan60°=6

3

．
又∵OP=2

3

t
∴AP=6

3

∴2

3

t=6

3

，
∴t=3．
即：t=3时，PM与⊙O′相切；

（3）当t=4s时，AQ=4×4=16，
BR=2×4=8，AP=4×2

3

=8

3

，
∴

OR

OB

=

OP

OA

，
∴PR∥AB，
同理，QP∥BR，
∴四边形BRPQ是平行四边形，
在直角△OPR中，OP=OA-AP=12

3

-8

3

=4

3

，OR=OB-BR=12-8=4，
PR=

OP2+OR2

=

(4 3 )2+42

=8，
∴BR=PR，
∴平行四边形BRPQ是菱形；

（4）∵四边形BRPQ是菱形时，根据（1）可以得到∠OBA=60°，
∴RB=RQ=RP=8，△BPQ是等边三角形，
∴R到BQ和PQ的距离都是：8×

3

2

=4

3

，
故当0＜r＜4

3

时，有2个交点；
当r=4

3

时，有4个交点；
当4

3

＜r＜8时，有6个交点；
当r=8时，有3个交点；
当r＞8时，有0个交点．

点评：本题考查了切线的性质，菱形的判定方法，以及勾股定理，正确证明四边形BRPQ是菱形是关键．