题目内容

在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 $数学公式$ 的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））．
下列问题．
（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1））．
（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 $数学公式$ 的小正方形，得到图（2）；
（3）重复上述的作法，图（3）经过第______次分形后得到图2（3）的图形；

（4）观察探究：分形过程中，图形的周长有什么变化？面积有什么变化？

解：（1）如图（1）所示：

（2）如图（2）所示：

（3）2；

（4）周长依次为4a，8a，16a，32a，…，2ⁿ⁺¹a，即无限增加；图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一个定值a²．
故答案为2．
分析：（1）根据正方形的判定，作一个边长为a的正方形；
（2）将上图中的正方形每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 $\text{[math]}$ 的小正方形；
（3）根据正方形雪花图案的形成过程，观察图形，可知对正方形每进行1次分形，周长增加1倍，由图2（3）的图形，得出经过第2次分形后即可得到；
（4）观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．
点评：此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度．