Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使PC是⊙O的切线．

（1）求证：∠PCA＝∠ABC；

（2）若∠P＝60°，PC＝4，求PE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）8﹣4．

【解析】

（1）连接OC，根据圆周角定理的推论求出∠ACB＝90，根据切线的性质得出∠OCP＝90°，然后根据角度之间的转化可得出结果；

（2）先求出∠POC=30°，在Rt△OCP中，根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理可求得OP，OC的长，然后根据PE=OP-OE即可得出答案．

（1）证明：连接OC，

∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP＝90°，

∴∠OCA+∠PCA＝90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC+∠A＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A，

∴∠PCA＝∠ABC；

（2）解：∵在Rt△OCP中，∠OCP＝90°，∠P＝60°，

∴∠POC＝30°，

∵PC＝4，

∴PO＝2PC＝8，

由勾股定理得：OC＝＝4＝OE，

∴PE＝PO﹣OE＝8﹣4．