Question

如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交AD于O。设运动时间为x（s），△CGF的面积为y（cm²）。
（1）当x为何值时，GD的长度是2cm？
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为1：5？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）∵DC∥AB， ∴△DMG∽△AME， ∴ ∴ 即当x=4s时，GD的长度是2cm； （2）∵△DMG∽△AME ∴ ∴ ∴GC=， 过F作FH⊥DC于H点 ∴FH= ∴ ； （3）设运动x（s）时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5 此时△OGD∽△FGC， ∴ ∴， 过D作DP⊥BC于P，则PD=6×sin60°= 即 解得：，（舍去） 经检验：是原方程的解， ∴当时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5。