题目内容
（2010•咸宁）问题背景（1）如图，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积S=______，△EFC的面积S1=______，△ADE的面积S2=______．
探究发现
（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．
拓展迁移
（3）如图，?DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．
【答案】分析：（1）四边形DBFE是平行四边形，利用底×高可求面积；△EFC的面积利用底×高的一半计算；△ADE的面积，可以先过点A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求AG，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四边形DBFE是?，同时，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，从而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S1：S2=a2：b2，由于S1=
bh，那么可求S2，从而易求4S1S2，又S=ah，容易证出结论；
（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，容易证出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面积等于8，再利用（2）中的结论，可求?DBHG的面积，从而可求△ABC的面积．
解答：
（1）解：S=6，S1=9，S2=1；
（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
而S=ah，∴S2=4S1S2；
（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG=EF，
∴BH=EF
∴BE=HF，
∴△DBE≌△GHF，
∴△GHC的面积为5+3=8，
由（2）得，?DBHG的面积为
，
∴△ABC的面积为2+8+8=18．
（说明：未利用（2）中的结论，但正确地求出了△ABC的面积，给2分）
点评：本题利用了平行四边形、三角形的面积公式，还利用了平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、全等三角形的判定和性质等知识．
（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四边形DBFE是?，同时，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，从而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S1：S2=a2：b2，由于S1=
bh，那么可求S2，从而易求4S1S2，又S=ah，容易证出结论；（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，容易证出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面积等于8，再利用（2）中的结论，可求?DBHG的面积，从而可求△ABC的面积．
解答：
（1）解：S=6，S1=9，S2=1；（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴
，∵
，∴
，∴
，而S=ah，∴S2=4S1S2；
（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG=EF，
∴BH=EF
∴BE=HF，
∴△DBE≌△GHF，
∴△GHC的面积为5+3=8，
由（2）得，?DBHG的面积为
，∴△ABC的面积为2+8+8=18．
（说明：未利用（2）中的结论，但正确地求出了△ABC的面积，给2分）
点评：本题利用了平行四边形、三角形的面积公式，还利用了平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、全等三角形的判定和性质等知识．
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