Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF

（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

Answer 1

解：（1）证明：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°。∴AB=AC。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC。
（2）CF﹣CD=BC。
（3）①CD﹣CF=BC。
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°。∴AB=AC。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。
∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD。
∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°。∴∠ACF=∠ABD=135°。∴∠FCD=90°。
∴△FCD是直角三角形。
∵正方形ADEF的边长为且对角线AE、DF相交于点O，
∴DF=AD=4，O为DF中点。
∴OC=DF=2。

试题分析：（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得。
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC。
（3）①同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CD﹣CF=BC。
②证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得。