Question

如图所示，等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD=AB=BC=2，CD=4，有两个动点P、Q，同时从D点出发，点P沿D-A-B-C以每秒2个单位长度的速度移动，点Q沿线段DC以每秒1个单位长度的速度移动，当点P、Q有一个点到达点C时，另一点也停止移动，若移动的时间为t秒，△DPQ的面积为S个平方单位．
（1）直接写出S与t的函数关系式：
（2）当t为何值时S取最大值，最大值为多少？
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使直线PQ与等腰梯形ABCD的某一边所夹的锐角等于30°？若存在，直接写出t的范围或t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质求出∠D=60°，根据勾股定理求出梯形的高

3

，有3种情况：①0＜t≤1时，根据三角形的面积公式求出即可；②1＜t≤2时，根据三角形的面积公式求出即可；③当2＜t＜3时，根据三角形的面积求出即可；
（2）通过计算得出只有t=2时，S有最大值，把t=2代入即可求出答案；
（3）当P在AD上时，∠DPQ=30°，即可求出t的范围；当P在BC上时，∠PQC=30°，根据直角三角形的性质求出即可．

解答：解：（1）S与t的函数关系式是S=

3

2

t²（0＜t≤1），S=

3

2

t（1＜t≤2），S=-

3

2

t²+

3 3

2

t（2＜＜3）．

（2）当t=2时，S有最大值，最大值是S=

3

2

t=

3

，
答：t为2时S取最大值，最大值为

3

．

（3）存在，t的范围是0＜t≤1 或t=

8

3

．

点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，二次函数的最值，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．