Question

某体育用品商场为推销某一品牌运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：

卖出价格x（元/件）	50	51	52	53
销售量p（件）	500	490	480	470

（1）判断p与x的函数关系，并求出p与x的函数关系式；
（2）如果这种运动服的买入价为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入-买入支出）；
（3）在（2）的条件下，当卖出价格为多少时，能获得最大利润？

Answer 1

解：（1）p与x成一次函数关系．设函数关系式为p=kx+b，
则 ，
解得：k=-10，b=1000，
∴p=-10x+1000，
经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式，
∴所求的函数关系为p=-10x+1000；

（2）依题意得：
y=p（x-40）=（-10x+1000）（x-40），
∴y=-10x²+1400x-40000；

（3）由y=-10x²+1400x-40000可知，
当x=-=70时，y有最大值，
∴卖出价格为70元时，能获得最大利润．
分析：（1）根据表格中数据的特点易知p与x成一次函数关系，设出p=kx+b，从表格中任取两点坐标，利用待定系数法确定出k与b的值，进而得到p与x的函数关系式；
（2）根据销售利润=（每件的售价-每件的进价）×销售量，可得y=px-40p，化简即可得到利润的关系式；
（3）由（2）化简得到的y与x的函数关系式，运用二次函数的性质得到其图象为开口向下的抛物线，有最大值，当x=-取得最大值，即可求出取得最值时的价钱．
点评：此题考查了一次函数及二次函数的图象与性质，第一问猜想p与x成一次函数关系式，利用待定系数法确定出关系式后不要忘了验证；第三问求最值问题时，应根据第二问得到的函数表达式，利用二次函数性质来求解．