题目内容

探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于点E．若AE＝10，求四边形ABCD的面积．

应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为________．

答案：
解析：

　　探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F．

　　∵AE⊥CD，∠BCD＝，

　　∴四边形AFCE为矩形．(2分)

　　∴∠FAE＝．

　　∴∠FAB＋∠BAE＝．

　　∵∠EAD＋∠BAE＝，

　　∴∠FAB＝∠EAD．

　　∵AB＝AD，∠F＝∠AED＝，

　　∴△AFB≌△AED．

　　∴AF＝AE．

　　∴四边形AFCE为正方形．

　　∴＝＝＝＝100．(6分)

　　拓展：．(9分)


练习册系列答案
相关题目
如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．
在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：
h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论；
（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：h1+h3+h4=
mhm-n
．图（4）与图（6）中的等式有何关系．
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29、阅读探究题：数学课上，张老师向大家介绍了等腰三角形的基本知识：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，如图1所示：在△ABC中，若AB=AC，则△ABC为等腰三角形且有∠B=∠C．此时，张老师出示了问题：如图2，四边形ABCD是正方形（正方形的四边相等，四个角都是直角），点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，在此基础上，请聪明的同学们作进一步的研究：
（1）求出角∠AME的度数；
（2）你能在小明的思路下证明结论吗？
（3）小颖提出：如图3，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N、小明在探究线段MM′与N′N的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题、请你参考小明的思路解答下列问题：
（1）当直线l与方形环的对边相交时（如图1），直线l分别交AD、A′D'、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；
（2）当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出
MM′N′N
的值（用含α的三角函数表示）．
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（2007•临夏州）[（1）-（3），10分]如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：
m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h
m（h1+h2+h3）-n（h1+h3-h4）=（m+n）h
；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
四边形ABCD是正方形（正方形四边相等，四个角都是90°），BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，
（1）如图1，若点G在BC边上时（不与点B、C重合），求证：△ABF≌△DAE；
（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系是
EF=AF-BF
EF=AF-BF
；
（3）①如图2，若点G在CD边上时（不与点C、D重合），则图中全等三角形是
△ABF≌△DAE
△ABF≌△DAE
，线段EF与AF、BF的等量关系是
EF=BF-AF
EF=BF-AF
；
②如图3，若点G在CD延长线上时，线段EF与AF、BF的等量关系是
EF=AF+BF
EF=AF+BF
；
（4）请画图、探究点G在BC延长线上时，线段EF与AF、BF的等量关系是
EF=BF-AF
EF=BF-AF
；（直接写出结果，不必证明）．

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