Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD
（1）试说明CE=CF．
（2）△BCE与△DCF全等吗？试说明理由．
（3）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线性质推出即可；
（2）根据HL证出两直角三角形全等即可；
（3）根据全等三角形性质推出AF=AE，DF=BE，设BE=x，则AE=21-x，DF=x，AF=9+x，得出方程21-x=9+x，求出BE，根据勾股定理求出CE即可．

解答：解（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF．

（2）△BCE≌△DCF．
理由是：
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴△BCE与△DCF都是直角三角形，
在Rt△BEC和Rt△DFC中
∵

BC=CD CE=CF

，
∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL）；

（3）∵Rt△BEC≌Rt△DFC，
∴BE=DF，
∵CF⊥AF，CE⊥AB，
∴∠F=∠CEA=90°，
∵AC平分∠BAF，
∠FAC=∠EAC，
在△FAC和△EAC中
∵

∠F=∠AEC ∠FAC=∠EAC AC=AC

，
∴△FAC≌△EAC（AAS），
∴AE=AF，
设BE=x，则AE=21-x，DF=x，AF=9+x，
∴21-x=9+x，
∴x=6，即BE=6，
在Rt△BCE中，∵BC=10，BE=6，
∴由勾股定理得：CE=8．

点评：本题考查了全等三角形的性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．