题目内容

已知点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且|a+4|+(b-1)2=0,A、B之间的距离记作|AB|,定义:|AB|=|a-b|.
(1)求线段AB的长|AB|;
(2)设点P在数轴上对应的数为x,当|PA|-|PB|=2时,求x的值;
(3)若点P在A的左侧,M、N分别是PA、PB的中点,当P在A的左侧移动时,下列两个结论:
①|PM|+|PN|的值不变;②|PN|-|PM|的值不变,其中只有一个结论正确,请判断出正确结论,并求其值.
分析:(1)根据非负数的和为0,各项都为0;
(2)应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题;
(3)利用中点性质转化线段之间的倍分关系得出.
解答:解:(1)∵|a+4|+(b-1)2=0,
∴a=-4,b=1,
∴|AB|=|a-b|=5;
(2)当P在点A左侧时,
|PA|-|PB|=-(|PB|-|PA|)=-|AB|=-5≠2.
当P在点B右侧时,
|PA|-|PB|=|AB|=5≠2.
∴上述两种情况的点P不存在.精英家教网
当P在A、B之间时,|PA|=|x-(-4)|=x+4,|PB|=|x-1|=1-x,
∵|PA|-|PB|=2,∴x+4-(1-x)=2.
∴x=-
1
2
,即x的值为-
1
2

(3)|PN|-|PM|的值不变,值为
5
2

∵|PN|-|PM|=
1
2
|PB|-
1
2
|PA|=
1
2
(|PB|-|PA|)=
1
2
|AB|=
5
2

∴|PN|-|PM|=
5
2
点评:本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性,在今后解决类似的问题时,要防止漏解.
利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.
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