题目内容
【题目】若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”,抛物线C1:与C2:为“友好抛物线”.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点,过A作AQ⊥x轴,Q为垂足,求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线C2的顶点为C,点B的坐标为(﹣1,4),问在C2的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标,不存在说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,M(1,2)或(1,5).
【解析】
试题分析:(1)先求得y1顶点坐标,然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值;
(2)设A(a,).则OQ=x,AQ=,然后得到OQ+AQ与a的函数关系式,最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值;
(3)连接BC,过点B′作B′D⊥CM,垂足为D.接下来证明△BCM≌△MDB′,由全等三角形的性质得到BC=MD,CM=B′D,设点M的坐标为(1,a).则用含a的式子可表示出点B′的坐标,将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值,从而得到点M的坐标.
【解答】解:(1)∵=,∴抛物线C1的顶点坐标为(1,4).∵抛物线C1:与C2顶点相同,∴=1,﹣1+m+n=4.解得:m=2,n=3,∴抛物线C2的解析式为;
(2)如图1所示:
设点A的坐标为(a,),∵AQ=,OQ=a,∴AQ+OQ= ==,∴当a=时,AQ+OQ有最大值,最大值为;
(3)如图2所示;连接BC,过点B′作B′D⊥CM,垂足为D.
∵B(﹣1,4),C(1,4),抛物线的对称轴为x=1,∴BC⊥CM,BC=2.∵∠BMB′=90°,∴∠BMC+∠B′MD=90°.∵B′D⊥MC,∴∠MB′D+∠B′MD=90°,∴∠MB′D=∠BMC.在△BCM和△MDB′中,∵∠MB′D=∠BMC,∠BCM=∠MDB′,BM=MB′,∴△BCM≌△MDB′,∴BC=MD,CM=B′D.设点M的坐标为(1,a).则B′D=CM=4﹣a,MD=CB=2,∴点B′的坐标为(a﹣3,a﹣2),∴.整理得:,解得a=2,或a=5.
当a=2时,M的坐标为(1,2),当a=5时,M的坐标为(1,5).
综上所述当点M的坐标为(1,2)或(1,5)时,B′恰好落在抛物线C2上.