Question

如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点A在x轴上，顶点B在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上．当菱形的顶点A在x的正半轴上自左向右移动时，顶点B也随之在反比例函数y=

12

x

（x＞0）的图象上滑动，点C也相应移动，但顶点O始终在原点不动．
（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B、C的坐标；
（2）如图②，当点A移动到什么位置时，菱形ABOC变成正方形，请说明理由；
（3）当菱形的三个顶点在作上述移动时，菱形ABOC的面积是否会发生变化，若不发生变化，请求出菱形的面积；若发生变化，请说明变化的规律．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，即可求得B的横坐标，代入反比例函数解析式即可求得B的坐标，再根据B，C关于x轴对称，即可求得C的坐标；
（2）当菱形ABOC变成正方形时，OM=BM，则B的横纵坐标相等．据此即可求得B的坐标，进而求得OA的长；
（3）根据菱形被两条对角线分成4个全等的直角三角形，再依据反比例函数中比例系数k的几何意义，即可求解．

解答：解：（1）连接BC，交OA于点M．则BC⊥OA，且OM=

1

2

OA=3．
∴B的横坐标是3，把x=3代入y=

12

x

得：y=4．
则B的坐标是（3，4）．
∵B，C关于OA对称．
∴C的坐标是（3，-4）；

（2）当菱形ABOC变成正方形时，OM=BM，则B的横纵坐标相等．
设B的坐标是（a，a），代入y=

12

x

．得a=2

3

．
则B的坐标是（2

3

，2

3

）．
∴OA=4

3

．

（3）∵四边形ABOC是菱形．
∴菱形ABOC的面积=4直角△OBM的面积．
∵直角△OBM的面积=

1

2

×12=6．
∴菱形ABOC的面积=24．
菱形的面积不变化．

点评：本题是反比例函数与菱形相结合的题目，考查了菱形、正方形的性质，以及反比例函数中比例系数k的几何意义，关键是根据菱形与正方形的性质确定B的坐标特点．