Question

设直线l₁：y₁=k₁x+b₁与l₂：y₂=k₂x+b₂，若l₁⊥l₂，垂足为H，则称直线l₁与l₂是点H的直角线．
（1）已知直线①；②y=x+2；③y=2x+2；④y=2x+4和点C（0，2）．则直线______ 和______是点C的直角线（填序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A（3，0）、B（2，7）、C（0，7），P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l₁，过A、P两点的直线为l₂，若l₁与l₂是点P的直角线，求直线l₁与l₂的解析式．

Answer 1

解：（1）由题意得：直线①与直线③是点C的直角线；

（2）设P坐标为（0，m），
∵l₁与l₂是点P的直角线，
∴PB⊥PA于点P，
又已知，AB²=（3-2）²+7²=50，PA²=PO²+OA²=m²+3²，PB²=PC²+BC²=（7-m）²+2²，
∴AB²=PA²+PB²=m²+3²+（7-m）²+2²=50，
解得：m₁=1，m₂=6，
则当m=1时，l₁为：y₁=3x+1，l₂为：y₂=-x+1；当m=6时，l₁为：y₁=x+6，l₂为：y₂=-2x+6．
分析：（1）先将C坐标代入排除④，找出其他三条直线的斜率分别为-，1，2，由直线①与直线③的斜率乘积为-1，得到这两直线垂直，可得出直线①与直线③是点C的直角线；
（2）由P在OC上，设P坐标为（0，m），根据l₁与l₂是点P的直角线，根据题意得到PA与PN垂直，利用两点间的距离公式求出AB²，表示出PA²与PB²，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出直线l₁与l₂的解析式．
点评：此题考查了一次函数综合题，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．