Question

如图，已知A为优弧中点，且AB=BC，E为劣弧上一点．
（1）求证：AE=BE+CE
（2）试猜想，当点E在优弧上运动时，线段AE、BE、CE之间具有怎样的关系，画图并证明你的猜想．

Answer 1

（1）证明：连接AC
∵AB=BC，且点A为中点，
∴△ABC为等边三角形，
在AE上截取EF=BE，连接BF，
∵∠AEB=∠ACB=60°，且EF=BE，
∴△EFB为等边三角形，
∵∠ABC=∠FBC=60°，
∴∠ABF=∠EBF，
在△ABF和△CBE中
∵AB=CB
∠ABF=∠CBF
BF=BE
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∴AE=BE+CE．

（2）解：猜想的结果为：AE=|BE-CE|．
当E点在上则有：AE=BE-CE．
证明：如图，连接AC，
∵AB=BC，且A为中点，
∴△ABC为等边三角形，
在BE上取EF=AE，连接AF，
∵∠AEF=∠ACB=60°，且EF=AE，
∴△EFA为等边三角形，
∵∠BAC=∠FAE=60°，
∴∠BAF=∠EAC．
在△ABF和△ACE中
∵AB=AC
∠BAF=∠EAC
AF=AE
∴△ABF≌△ACE
∴BF=CE，
∴AE=BE-CE．
当E点在上则有：AE=CE-BE．证明方法一样．
所以当点E在优弧上运动时，线段AE、BE、CE之间具有的关系为：AE=|BE-CE|．
分析：（1）连接AC，先由A为优弧中点，且AB=BC，得到△ABC为等边三角形，然后在AE上截取EF=BE，连接BF，则△EFB为等边三角形，可证明△ABF≌△CBF，得AF=CE，由此证得AE=BE+CE．
（2）猜想的结果为：AE=|BE-CE|，当点E在优弧上运动时，由于△ABC为等边三角形，所以E在，，上一样，图形没变，只是字母变了，所以证明的方法一样，结论形式一样，改变字母即可．不过要把E在，上的结论合起来．
点评：本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定．特别是证明一条线段是另外两条线段的和时，通常采用在长线段上截取一段等于其中一条线段，然后证明余下部分等于另一条线段．