Question

某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．
（销售利润=（售价-成本价）×销售量）
请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；
（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；
（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）根据销售记录每升利润为1元，所以销售利润为4万元时销售量为4万升；
（2）设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），求出图象中B点和C点的坐标代入关系式中即可．
（3）判断利润率最大，应该看倾斜度．

解答：解：解法一：
（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4÷（5-4）=4（万升）．
答：销售量x为4万升时销售利润为4万元；

（2）点A的坐标为（4，4），从13日到15日销售利润为5.5-4=1.5（万元），
所以销售量为1.5÷（5.5-4）=1（万升），所以点B的坐标为（5，5.5）．
设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b，则

4=4k+b 5.5=5k+b

解得

k=1.5 b=-2

∴线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x-2（4≤x≤5）．
从15日到31日销售5万升，利润为1×1.5+4×（5.5-4.5）=5.5（万元）．
∴本月销售该油品的利润为5.5+5.5=11（万元），所以点C的坐标为（10，11）．
设线段BC所对应的函数关系式为y=mx+n，则

5.5=5m+n 11=10m+n

解得

m=1.1 n=0

所以线段BC所对应的函数关系式为y=1.1x（5≤x≤10）；

（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．

解法二：
（1）根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y=（5-4）x，即y=x（0≤x≤4）．
当y=4时，x=4．
答：销售量为4万升时，销售利润为4万元．

（2）设线段AB所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则

4=4k+b 5.5=5k+b

解得

k=1.5 b=-2

∴线段AB所对应的函数关系式为y=1.5x-2（4≤x≤5）．
设BC所对应的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵截止至15日进油时的销售利润为5.5万元，
且13日油价调整为5.5元/升，
∴5.5=4+（5.5-4）x，
x=1（万升）．
∴B点坐标为（5，5.5）．
∵15日进油4万升，进价4.5元/升，
又∵本月共销售10万升，
∴本月总利润为：
y=5.5+（5.5-4）×（6-4-1）+4×（5.5-4.5）
=5.5+1.5+4
=11（万元）．
∴C点坐标为（10，11）．
将B点和C点坐标代入y=kx+b得方程组为：

5k+b=5.5 10k+b=11

，
解得：

k=1.1 b=0

．
故线段BC所对应的函数关系式为：y=1.1x．（5≤x≤10）．

（3）线段AB倾斜度最大，所以利润率最高．

点评：这是一道分段函数难度中上的考题，主要考查从图表获取信息和利用一次函数解决实际问题的能力．本题的关键是要仔细审题，找出数量变化与对应函数图象的关系，思考：险段AB，OA，BC对应的函数有哪些不同其根本原因是每升的成本，利润的变化，导致销售量的变化，正确计算出三种情形中的每升利润，是解决这一分段函数的重中之重．