Question

已知关于x的方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0
（1）判断命题：“无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根”的真假，如果是真命题请给出证明：如果是假命题请举一个反例．
（2）若m≠0，设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y=(x1+x2)2-x12•x22，当m的取值范围满足什么条件时，y≤2

m2

．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的定义知，二次项系数不为零．故m=0时，已知方程有一个实数根；
（2）根据根与实数的关系求得x₁+x₂=

3m+2

m

，x₁•x₂=

2m+2

m

；然后将其代入已知等式求得y的值；最后由不等式y≤2

m2

来求m的取值范围．

解答：解：（1）此命题是假命题．例如，当m=0时，由已知方程得
-2x+2=0，
解得，x=1，即原方程有一个实数根；
故“无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根”是假命题；

（2）∵方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），且m≠0，
∴x₁+x₂=

3m+2

m

，x₁•x₂=

2m+2

m

，
∴y=(x1+x2)2-x12•x22=

5m+4

m

；
又∵y≤2

m2

，
∴2

m2

≤

5m+4

m

，即2|m|≤

5m+4

m

 ①，
①当m＞0时，由不等式①，得
2m²-5m-4≤0，
解得，0＜m≤

5+ 57

4

；
②当m＜0时，由不等式①，得
2m²+5m+4≥0，解得，
m∈R，且m≠0，
∴m＜0．
综上可知0＜m≤

5+ 57

4

或m＜0时，y≤2

m2

．

点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系．解答该题时，需要牢记一元二次方程的定义．