Question

如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G交BC于F，则四边形BEGF的面积与四边形FCDG的面积之比为

1. A.
   4：7
2. B.
   9：17
3. C.
   12：23
4. D.
   16：25

Answer 1

B
分析：首先证△AED≌△BFA，得S_△ABF=S_△DAE，两者都减去△AEG的面积后可得S_△AGD=S_{四边形BGFB}，那么只需求△AEC和△AGD的面积关系即可；Rt△AED中，AG⊥ED，易证得△AEG∽△DAG，根据它们的相似比（可由AE、BE的比例关系求得），即可求得两者的面积比为4：9，再由题意可求出△ADE和正方形的面积比为1：3，从而设S_AEG=4x，则S_AGD=9x，S_ABCD=39x，S_GFCD=17x，继而可得出答案．
解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD；
∵∠EAG=∠EDA=90°-∠AEG，∠B=∠DAB=90°，AD=AB，
∴△AED≌△BFA；
∴S_△ABF=S_△DAE；
∴S_△ABF-S_△AEG=S_△DAE-S_△AEG，即S_△AGD=S_{四边形BGFB}；
∵∠EAG=∠EDA，∠AGE=∠DGA=90°，
∴△AEG∽△DAG；
∴=（）²=（）²=；
∴S_△AEG：S_{四边形BGFB}=4：9；
从而设S_AEG=4x，则S_AGD=9x，S_ABCD=39x，S_GFCD=17x，
∴四边形BEGF的面积与四边形FCDG的面积之比为9：17．
故选B．
点评：此题主要考查了正方形的性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质．能够发现四边形BGFB和△AGD的面积关系是解答此题的关键，难度一般．