题目内容
【题目】如图,已知直角梯形,,,过点作,垂足为点,,,点是边上的一动点,过作线段的垂直平分线,交于点,并交射线于点.
(1)如图1,当点与点重合时,求的长;
(2)设,,求与的函数关系式,并写出定义域;
(3)如图2,联结,当是等腰三角形时,求的长.
【答案】(1)BC=5;(2);(3)的长为或3或.
【解析】
(1)根据垂直平分线性质可知,设,,在中用勾股定理求出,即可解答;
(2)联结,,在中,,在中,,消去二次项即可得到与的函数关系式;根据点是边上的一动点结合(1)即可得出的定义域;
(3)分三种情况讨论,分别画出图形,根据相等的边用勾股定理列方程求解即可.
解:(1)∵梯形中,,,,
∴,
∵是线段的垂直平分线,
∴,
在中,,
又∵,,设,,
,
∴,
∴.
(2)联结,,
∵是线段的垂直平分线,
∴
∵,,
∴
在中,
在中,
∴
∴
(3)在中,,,
∴,
当是等腰三角形时
①∵
∴
∵
∴
∴
②
取中点,联结
∵为的中点
∴为梯形中位线
∴
∵
∴为中点,
∴此时与重合
∴
③
联结并延长交延长线于点
此时.
∴,,
∴,
∴在中,,
∵
∴解得,(不合题意含去)
∴综上所述,当是等腰三角形时,的长为或3或
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