Question

【题目】如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PAPC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．
（1）求证：△PAE∽△PEC；
（2）求证：PE为⊙O的切线；
（3）若∠B=30°，AP= AC，求证：DO=DP．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PE2=PAPC，

∴ ，

∵∠APE=∠EPC，

∴△PAE∽△PEC

（2）解：如图1，

连接BE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠OBE=∠PCE，

∴∠OEB=∠PCE，

∵△PAE∽△PEC，

∴∠PEA=∠PCE，

∴∠PEA=∠OEB，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∴∠OEB+∠OEA=90°，

∵∠PEA+∠OEA=90°，

∴∠OEP=90°，

∵点E在⊙O上，

∴PE是⊙O的切线

（3）解：如图，

过点O作OM⊥AC于M，

∴AM= AC，

∵BC⊥AC，

∴OM∥BC，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOM=30°，

∴OM= AM= AC，

∵AP= AC，

∴OM= AP，

∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP，

∴PE2=PA×PC=PA×3PA，

∴PE= PA，

∴OM=PE，

∵∠PED=∠OMD=90°，∠ODM=∠PDE，

∴△ODM≌△PDE，

∴OD=DP

【解析】（1）利用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似即可；（2）连接BE，转化出∠OEB=∠PCE，又由相似得出∠PEA=∠PCE，从而用直径所对的圆周角是直角，转化出∠OEP=90°即可；（3）构造全等三角形，先找出OD与PA的关系，再用等积式找出PE与PA的关系，从而判断出OM=PE，得出△ODM≌△PDE即可．