Question

已知：如图，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）若点P在抛物线对称轴上，且PA=PB，求P点的坐标．

Answer 1

解：（1）对称轴为，
答：抛物线的对称轴是直线x=2.5；

（2）解：令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
又BC∥x轴，点B，C关于对称轴对称，
∴点B的坐标为B（5，4）
由AC=BC=5，OA=3，点A在x轴上，
∴点A的坐标为A（-3，0），
∵抛物线过A，
∴9a+15a+4=0，
a=-，
∴抛物线的解析式是y=-x²+x+4，
答：A，B，C三点的坐标分别是（-3，0），（5，4），（0，4），抛物线的解析式是y=-x²+x+4．

（3）解：设P点坐标为P（2.5，m），由PA=PB，
∴PA²=PB²，
∴5.5²+m²=2.5²+（4-m）²，
∴m=-1，
则P点坐标为（2.5，-1），
答：P点坐标为（2.5，-1）．
分析：（1）根据对称轴x=-，代入求出即可；
（2）令x=0，求出C的坐标，根据对称求出B的坐标，由AC=BC=5，OA=4，得到A的坐标，代入解析式即可求出解析式；
（3）根据线段的垂直平分线定理得到PA=PB，根据勾股定理即可求出P的坐标．
点评：本题主要考查对线段的垂直平分线定理，勾股定理，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．