Question

如图，直线AB与两坐标轴分别相交于A、B点，OA=OB=4，点M是线段AB上一动点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D．
（1）写出直线AB的函数解析式；
（2）设点M的横坐标为x，写出四边形OCMD的面积S与x的函数关系式，当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）探究：当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S，试求S与a的函数关系式，并画出该函数的图象．

Answer 1

分析：（1）先写出点A、B的坐标，然后根据待定系数法求函数解析式解答；
（2）根据矩形的对边平行可得DM∥OA，然后证明△BDM与△BOA相似，根据相似三角形对应边成比例列式，再用OD表示出BD，求解得到OD的长度，再根据矩形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）先根据（2）的结论求出正方形的边长，从而得到正方形的面积，在分①0＜a≤2时，正方形在△AOB内部，重叠部分的面积等于正方形的面积减去右上角小等腰直角三角形的面积，列式整理即可得到S与a的函数关系式，②当2≤a＜4时，重叠部分是左下角小等腰直角三角形的面积，然后列式整理即可得到S与a的关系式，然后根据取值范围画出相应的二次函数图象即可．

解答：解：（1）∵OA=OB=4，
∴点A（4，0）B（0，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

，
所以，直线AB的函数解析式为y=-x+4；

（2）∵MC⊥OA，MD⊥OB，x轴⊥y轴，
∴四边形OCMD是矩形，
∴DM∥OA，
∴△BDM∽△BOA，
∴

BD

OB

=

DM

OA

，
即

4-OD

4

=

x

4

，
解得OD=4-x，
∴S=x（4-x）=-x²+4x，
所以，S与x的函数关系式为：S=-x²+4x（0＜x＜4），
∵S=-x²+4x=-（x²-4x+4）+4=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，S有最大值4，
此时M是AB的中点，
故，点M运动到AB的中点位置时，四边形OCMD的面积有最大值4；

（3）如图，∵直线AB的解析式为y=-x+4，
∴移动过程中正方形被分割出的三角形式等腰直角三角形，
由（2）可得，四边形OCMD为正方形时，4-x=x，
解得x=2，
所以，正方形的面积为：2²=4，
①当0＜a≤2时，重叠部分的面积=4-

1

2

a²，
②当2≤a＜4时，重叠部分的面积=

1

2

（4-a）（4-a）=

1

2

（4-a）²，
所以，S与a的函数关系式为S=

- 1 2 a2+4(0＜a≤2) 1 2 (a-4)2(2≤a＜4)

，
函数图象如图．

点评：本题是对一次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，相似三角形对应边成比例，二次函数的最值问题，二次函数的图象，综合性较强，难点较大，（3）要注意分析点的移动过程所形成的重叠部分的面积的表示．