Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的交x轴于点A和点B（-2，0），与y轴的负半轴交于点C，且线段OC的长度是线段OA的2倍，抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点（0，-5）且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式；
（3）当0＜x≤

10

3

时，（2）中的平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题的关键是求出A、B、C三点的坐标．根据抛物线对称轴的解析式和B点坐标可得出A点的坐标，也就可得出OA的长，根据OC=2OA，可求出C点的坐标，已知了A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）本题要先求出M、N两点的坐标，进而求出MN的长，由于要求的是平行四边形的面积，因此只需知道MN的长和P点与M点纵坐标差的绝对值，然后根据平行四边形的面积求法即可得出S，y的函数关系式；
（3）先将（2）得出的函数关系式中的y值用x表示出来，然后根据函数的性质和自变量的取值范围求出S的最大值．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴x=1，B（-2，0）
∴A（4，0），OA=4
∴OC=2OA=8，即C点坐标为（0，-8）
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）
由于抛物线过C点，
则有a（0+2）（0-4）=-8，
即a=1
因此抛物线的解析式为y=（x+2）（x-4）=x²-2x-8；

（2）当y=-5时，x²-2x-8=-5，
解得x=3，x=-1
∴M、N的坐标分别为（3，-5），（-1，-5）
∴MN=4
∴S=4|y+5|；

（3）由于0＜x≤

10

3

，此时y＜0，且P与M、N不重合，因此可分两种情况进行讨论：
①当0＜x＜3时，
S=4（-5-y）=4（-5-x²+2x+8）=4（-x²+2x-1+4）=-4（x-1）²+16，
S_max=16；
②当3＜x≤

10

3

时，
S=4（5+y）=4（x²-2x-3）=4（x-1）²-16，
由于抛物线开口向上，且对称轴为x=-1，
因此当x=

10

3

时，S_max=

52

9

．
因此存在平行四边形的最大值，且最大值为16．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．要注意（3）题要根据y和M点纵坐标的大小关系来分情况进行求解．不要漏解．