题目内容
如图，抛物线y=a（x+1）（x-5）与x轴的交点为M，N．直线y=kx+b与x轴交于P（-2，0），与y轴交于C．若A，B两点在直线y=kx+b上，且AO=BO=| 2 |
（1）OH的长度等于
（2）是否存在实数a，使得抛物线y=a（x+1）（x-5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与△AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个
E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB•PG＜10| 2 |
分析：（1）由已知在等腰直角三角形中解出OH的长，因直线过顶点和OH长等于点到直线距离，联立方程求出k，b；
（2）思维要严密，分两类情况：①若DN为等腰直角三角形的直角边；②若DN为等腰直角三角形的斜边．
根据相似的比例关系和几何关系，作适合的辅助线，构造垂直从而验证相似比例关系是否成立．
（2）思维要严密，分两类情况：①若DN为等腰直角三角形的直角边；②若DN为等腰直角三角形的斜边．
根据相似的比例关系和几何关系，作适合的辅助线，构造垂直从而验证相似比例关系是否成立．
解答：解：（1）∵直线y=kx+b过P（-2，0）?-2k+b=0…①
∵AO=BO=
，AO⊥BO?三角形AOB为等腰直角三角形，
AB=
=2?∠OAB=45°?OH=OA×sin45°=1，
∵OH=
=1…②
由①②方程解得：k=
，b=
，OH=1．
（2）设存在实数a，使抛物线y=a（x+1）（x-5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．
∴以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．
①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．
在抛物线y=a（x+1）（x-5）中，令y=0，解得x=-1或5，则得：M（-1，0），N（5，0）．
∴D（2，0），
∴ED=DN=3．
∴E的坐标为（2，3）．
把E（2，3）代入抛物线解析式y=a（x+1）（x-5），得：a（2+1）（2-5）=3，解得a=-
．
∴抛物线解析式为y=-
（x+1）（x-5）．
即y=-
x2+
x+
．
②若DN为等腰直角三角形的斜边，
则DE⊥EN，DE=EN．
∴E的坐标为（3.5，1.5）．
把E（3.5，1.5）代入抛物线解析式y=a（x+1）（x-5）得：a（3.5+1）（3.5-5）=1.5，解得a=-
．
∴抛物线解析式为y=-
（x+1）（x-5），
即y=-
x2+
x+
．
当a=-
时，在抛物线y=-
x2+
x+
上存在一点E（2，3）满足条件，
如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E′点，那么只有可能△DE′N是以DN为斜边的等腰直角三角形，
由此得E′（3.5，1.5），显然E′不在抛物线．
y=-
x2+
x+
上，
因此抛物线y=-
x2+
x+
上没有符合条件的其他的E点．
当a=-
时，同理可得抛物线y=-
x2+
x+
上没有符合条件的其他的E点．
当E的坐标为（2，3），对应的抛物线解析式为y=-
x2+
x+
时，
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，
∴∠GNP=∠PBO=45°．
又∵∠NPG=∠BPO，
∴△NPG∽△BPO．
∴
=
，
∴PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴总满足PB•PG＜10
．
当E的坐标为（3.5，1.5），解得对应的抛物线解析式为y=-
x2+
x+
时，
同理可证得：PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴总满足PB•PG＜10
．
解：（1）∵直线y=kx+b过P（-2，0）?-2k+b=0…①∵AO=BO=
| 2 |
AB=
| OA2+OB2 |
∵OH=
| |b| | ||
|
由①②方程解得：k=
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
（2）设存在实数a，使抛物线y=a（x+1）（x-5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．
∴以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．
①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．
在抛物线y=a（x+1）（x-5）中，令y=0，解得x=-1或5，则得：M（-1，0），N（5，0）．
∴D（2，0），
∴ED=DN=3．
∴E的坐标为（2，3）．
把E（2，3）代入抛物线解析式y=a（x+1）（x-5），得：a（2+1）（2-5）=3，解得a=-
| 1 |
| 3 |
∴抛物线解析式为y=-
| 1 |
| 3 |
即y=-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
②若DN为等腰直角三角形的斜边，
则DE⊥EN，DE=EN．
∴E的坐标为（3.5，1.5）．
把E（3.5，1.5）代入抛物线解析式y=a（x+1）（x-5）得：a（3.5+1）（3.5-5）=1.5，解得a=-
| 2 |
| 9 |
∴抛物线解析式为y=-
| 2 |
| 9 |
即y=-
| 2 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 10 |
| 9 |
当a=-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E′点，那么只有可能△DE′N是以DN为斜边的等腰直角三角形，
由此得E′（3.5，1.5），显然E′不在抛物线．
y=-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
因此抛物线y=-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
当a=-
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
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| 9 |
当E的坐标为（2，3），对应的抛物线解析式为y=-
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，
∴∠GNP=∠PBO=45°．
又∵∠NPG=∠BPO，
∴△NPG∽△BPO．
∴
| PG |
| PO |
| PN |
| PB |
∴PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴总满足PB•PG＜10
| 2 |
当E的坐标为（3.5，1.5），解得对应的抛物线解析式为y=-
| 2 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 10 |
| 9 |
同理可证得：PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴总满足PB•PG＜10
| 2 |
点评：此题考查在直角三角形中解题技巧，通过解方程组来求抛物线解析式，第二问探究三角形相似问题，考查思维的严密性，不要漏掉其它情况，学会分类讨论．
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