Question

设x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₆是整数，且满足下列条件：
①1≤x_n≤2，n=1，2，3，…，2006；
②x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₆=200；
③x₁²+x₂²+x₃²+…+x₂₀₀₆²=2006．
求x₁³+x₂³+x₃³+…+x₂₀₀₆³的最小值和最大值．

Answer 1

分析：先设x₁，x₂，x₃，x₂₀₀₆中有-1有a个，0有b个，1有c个，2有d个，分别分析条件可得四元一次方程组：
a+b+c+d=2006（1）
-a+c+2d=200（2）
a+c+4d=2006（3）
可转化为求-a+c+8d的最大值、最小值，再消元可得-a+c+8d=200+6d，进而分析d的取值范围，求出最大值和最小值即可．

解答：解：x₁，x₂，…，x₂₀₀₆的取值范围就是-1，0，1，2四个，可以设值为-1有a个，0有b个，1有c个，2有d个．
所以原条件转化成了四元一次方程组：
a+b+c+d=2006（1）
-a+c+2d=200（2）
a+c+4d=2006（3）
求-a+c+8d的最大值、最小值，
由（1），（2），（3）可知：
b=3d，c=1103-3d，a=903-d，
用d表示-a+c+8d，903-d≥0得知：d＜903，
1103-3d≥0得知：d≤367，
而d≥0，
d最小可以取到0，因此得到的最小值是200，
d最大可以取到367，因此得到的最大值是2402，
故答案为：200，2402．

点评：本题考查的是整数问题的综合运用，注意分情况进行讨论．