题目内容
如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90°，点C是
上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N．
（1）当
时，求
的值；
（2）设OM=x，ON=y，当
时，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．
（1）
；（2）
；（3）
或
.
【解析】
试题分析：（1）由△MFO∽△NFE和
，根据相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义， 即可求得结果.
（2）由△MFO∽△NFE和△ODF∽△EOF可得
，即
，从而根据勾股定理可得出
，即.
（3）分
或
两种情况讨论即可.
（1）由题意，得：∠MOF+∠FOE=90°，∠FEN+∠FOE=90° ， ∴∠MOF=∠FEN ．
由题意，得：∠MFO+∠OFN=90°，∠EFN+∠OFN=90° ， ∴∠MFO=∠NFE.
∴△MFO∽△NFE．∴
.
由∠FEN=∠MOF可得：， ∴
, ∴
．
（2）∵△MFO∽△NFE , ∴.
又易证得：△ODF∽△EOF ， ∴
．
∴
， ∴．
如图，连接MN，则.
由题意，得四边形ODCE为矩形，∴DE=OC=4 .∴MN=2.
在Rt△MON中，
,即.
∴y关于x 的函数解析式为 ．
（3）由题意，可得： OE=2y，CE=OD=2x.
∴由题意，可得：
， ∴
.
∵又
，∴
，∴
.
由题意，可得：∠NOF=∠FEC ，
∴由△ECF与△OFN相似，可得：或.
当时，
，∴
.
又，∴
，解得：
（舍去）.
∴
.
②当时，
，∴
，
又，∴
，∴解得：
（舍去）
∴
.
综上所述，OD=或 .
考点：1.双动点问题；2.矩形的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.由实际问题列函数关系式；5.勾股定理；6.锐角三角函数定义；7.分类思想的应用.
