题目内容

已知抛物线C1的函数解析式为y＝ax2＋bx－3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，－3），方程ax2＋bx－3a＝0的两根为x1，x2，且|x1－x2|＝4.

⑴求抛物线C1的顶点坐标. 新 课 标 第 一 网

⑵已知实数x＞0，请证明x＋≥2，并说明x为何值时才会有x＋＝2.

⑶若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB＝90︒，m＞0，n＜0.请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式.

（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为）

解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３

　　　　　∴a＝１　……………………………………１分

　　　　　∴ｙ＝x2＋bx－３

　　　　　∵x2＋bx－３=０的两根为x1,x2且＝４

∴＝４且b＜０

∴b＝－２　   　　　　　　　　　　　

∴ｙ＝x2－２x－３＝（x－１）２－４

∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）　　　

（2）∵x＞０，∴

∴显然当x＝１时，才有　　　

（3）由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y＝x2　　

∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）

∵ΔAOB为RtΔ

∴OA２+OB２=AB２

∴m２＋m４＋n２＋n４＝（m－n）２＋（m２－n２）２

化简得：m n＝－１　　　　

∵ＳΔAOB==

　  ∵m n＝－１

∴ＳΔAOB=

　　　　＝

∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１) 　

∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x

练习册系列答案
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精英家教网已知，如图所示，抛物线c1：y=ax2+bx+c的顶点A在x轴的正半轴上，并与y轴交于点B，OA=
3
，AB=2
3
，抛物线c2与抛物线c1关于y轴对称．
（1）求抛物线c1的函数解析式，并直接写出抛物线c2的函数解析式；
（2）设l是抛物线c2的对称轴，P是l上的一点，求当△PAB的周长最小时点P的坐标；
（3）在抛物线c1上是否存在点D，过点D作DC⊥AB于C，使得△DCB与△AOB相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（2012•黄石）已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，-3），方程ax2+bx-3a=0的两根为x1，x2，且|x1-x2|=4．
（1）求抛物线C1的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明x+
1
x
≥2，并说明x为何值时才会有x+
1
x
=2．
（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为
(x2-x1)2+(y2-y1)2
）
已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，-3），方程ax2+bx-3a=0的两根为x1，x2，且|x1-x2|=4．
（1）求抛物线C1的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明x+≥2，并说明x为何值时才会有x+=2．
（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为）
已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，-3），方程ax2+bx-3a=0的两根为x1，x2，且|x1-x2|=4．
（1）求抛物线C1的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明x+≥2，并说明x为何值时才会有x+=2．
（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为）

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