Question

【题目】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，

下列结论：

①；

②；

③；

④若点，点，点在该函数图象上，则；

⑤若方程的两根为和，且，则.

其中正确的结论有（ ）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用对称轴方程得到-=2，则b=-4a，于是可对①进行判断；利用x=-3时，y＜0可对②进行判断；利用图象过点（-1，0）得到a-b+c=0，把b=-4a代入得到c=-5a，则8a+7b+2c=-30a，然后利用a＜0可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较A、B、C点到对称轴的距离的大小得到．则可对④进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），则抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），所以方程a（x+1）（x-5）=-3的两根x1和x2为抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3的交点的横坐标，于是结合函数图象可对⑤进行判断；

解：∵抛物线的对称轴为直线x=-=2，
∴b=-4a，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
而b=-4a，
∴a+4a+c=0，则c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
而a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，所以③正确；

∵二次函数开口向下且对称轴为，

A、B、C三点的橫坐标到对称轴的距离由远及近的是：

，，，∴，所以④正确．
∵如图所示：抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
∴方程a（x+1）（x-5）=-3的两根x1和x2为抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3的交点的横坐标，
∴x1＜-1＜5＜x2；所以⑤错误；

综上所述，其中正确的结论有3个，故选B.