题目内容
【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB为直径,过点B的切线与AC的延长线交于点D,E是BD中点,连接CE.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若AC=4,BC=2,求BD和CE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)BD=,CE=.
【解析】
试题分析:(1)连接OC,由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A,∠ABD=90°,由圆周角定理得出∠ACB=90°,得出∠ACO+∠BCO=90°,∠BCD=90°,由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE,得出∠BCE=∠CBE=∠A,证出∠ACO=∠BCE,得出∠BCE+∠BCO=90°,得出CE⊥OC,即可得出结论;
(2)由勾股定理求出AB,再由三角函数得出tanA的值,求出BD的长,即可得出CE的长.
试题解析:(1)证明:连接OC,如图所示:
∵BD是⊙O的切线,∴∠CBE=∠A,∠ABD=90°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°,∠BCD=90°,∵E是BD中点,∴CE=BD=BE,∴∠BCE=∠CBE=∠A,∵OA=OC,∴∠ACO=∠A,∴∠ACO=∠BCE,∴∠BCE+∠BCO=90°,即∠OCE=90°,CE⊥OC,∴CE是⊙O的切线;
(2)解:∵∠ACB=90°,∴AB===,∵tanA==,∴BD=AB=,∴CE=BD=.
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