Question

已知抛物线y=

1

4

ax2+ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴，y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据y=

1

4

ax2+ax+t的对称轴，又与x轴相交即可求出点B的坐标．
（2）本题需先根据已知条件得出C的纵坐标，再根据形ABCD的面积为9，得出C点的坐标，从而得出a的值，即可求出解析式．
（3）本题需先设出E点的坐标，再把它代入抛物线的解析式中求出m的值，然后求出点E关于直线x=-2对称点的坐标E′，最后求出AE′的解析式即可求出答案．

解答：解：（1）∵y=

1

4

ax2+ax+t的对称轴为x=-2
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为：（-3，0）
（2）∵D为抛物线与y轴相交
∴D的纵坐标为t
∵CD∥AB
∴C的纵坐标也为t
∵梯形ABCD的高为t
∴S_梯形ABCD=9
∴

(CD+2)•t

2

=9
∴CD=

18-2t

t

∴点C的坐标为（

2t-18

t

，t）
∴

1

4

（

2t-18

t

)2²+

2t-18

t

+t=t
整理得：（2t-18）（6t-18）=0
∴t₁=3，t₂=9
∴a₁=4，a₂=12
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3或y=3x²+12x+9
（3）当点E在抛物线y=x²+4x+3时
设E点的横坐标为-2m，则E的纵坐标为5m
把（-2m，5m）代入抛物线得：5m=（-2m）²+4×（-2m）+3
解得；m₁=3，m₂=

1

4

∴E的坐标为（-6，15）（舍去）或（-

1

2

，

5

4

）
∴点E关于x=-2对称的点E′的坐标为（-

7

2

，

5

4

）
∴直线AE′的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

∴P的坐标为（-2，

1

2

）

点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意二次函数、一次函数知识相联系是解题的关键．