Question

请阅读下列材料：

问题：如图(1)，一圆柱的底面半径和高均为5 dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：

路线1：侧面展开图中的线段AC、如下图(2)所示：

设路线1的长度为l₁，则；

路线2：高线AB＋底面直径BC，如上图(1)所示，设路线2的长度为l₂，

则．

．

∴l₁²＞l₂²∴l₁＞l₂

所以要选择路线2较短．

(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的

底面半径为1 dm，高AB为5 dm”继续按前面的方式进行计算．

请你帮小明完成下面的计算：

路线1：l₁²＝AC²＝________；

路线2：l₂²＝(AB＋BC)²＝________，

∵l₁²________l₂²，∴l₁________l₂(填＞或＜)．

所以应选择路线________(填1或2)较短．

(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)25＋π2　49　＜　＜　1 　　(2)l12＝AC2＝AB2＋BC2＝h2＋(πr)2， 　　l22＝(AB＋BC)2＝(h＋2r)2， 　　l12－l22＝h2＋(πr)2－(h＋2r)2＝r(π2r－4r－4h)＝r[(π2－4)r－4h]． 　　r恒大于0，只需看后面的式子即可． 　　当r＝时，l12＝l22； 　　当r＞时，l12＞l22； 　　当r＜时，l12＜l22．