Question

观察下列图形：

图1阴影部分是半径为2与半径为1的圆所围成的圆环；图2的阴影部分是在图1的基础之上添加的半径为4与半径为3的圆所围成的两个圆环；以此类推，图3阴影部分分别是半径为：1、2、3、4…、…、2009、2010的偶数半径与比其小1的半径所围成的所有圆环．
（1）图1阴影部分是______．
（2）图2阴影部分是______．
（3）求图3所有阴影部分的面积（结果都保留π）．

Answer 1

解：（1）由圆的面积可得π×（2²-1²）=3π；

（2）π（2²-1²）+π（4²-3²），
=π（2+1）（2-1）+π（4+3）（4-3），
=π+2π+3π+4π，
=10π；

（3）π（2²-1²）+π（4²-3²）+…+π（2010²-2009²），
=π+2π+3π+…+2009π+2010π，
=（2010+2009+2008+2007+…+4+3+2+1）π，
=2021055π．
答：图3所有阴影部分的面积为2021055π．
分析：（1）直接利用圆的面积解答即可；
（2）首先利用圆的面积，再进一步因式分解，初步找出规律解答即可；
（3）利用（1）（2）的计算方法，找出规律解答即可．
点评：此题主要考查圆的面积公式，平方差公式，连续自然数相加的计算方法．