Question

【题目】已知点A为⊙O外一点，连接AO，交⊙O于点P，AO=6．点B为⊙O上一点，连接BP，过点A作CA⊥AO，交BP延长线于点C，AC=AB．

（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若PC=4，求 PB的长．

（3）若在⊙O上存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围是___________．

Answer 1

【答案】（1）AB与⊙O相切 ，理由见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接OB，有∠OPB=∠OBP，又AC=AB，则∠C=∠ABP，利用∠CAP=90°，即可得到结论成立；

（2）由AB=AC，利用勾股定理先求出半径，作OH⊥BP与H，利用相似三角形的判定和性质，即可求出PB的长度；

（3）根据题意得出OE=AC=AB=，利用OE=，即可求出取值范围．

解：（1）连接OB，如图：

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP=∠APC，

∵AC=AB，

∴∠C=∠ABP，

∵AC⊥AO，

∴∠CAP=90°，

∴∠C+∠APC=90°，

∴∠ABP+∠OBP=90°，

即OB⊥AB，

∴AB为切线；

（2）∵AB=AC

∴，

∴，

设半径为r，则

解得：r=2；

作OH⊥BP与H，

则△ACP∽△HOP，

∴，即

∴,

∴；

（3）如图，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，

∴四边形AOEM是矩形，

∴OE=AM=AC=AB=；
又∵圆O与直线MN有交点，
OE=，

∴，

∴，
∴，
又∵圆O与直线AC相离，
∴r＜6，
即．