题目内容
【题目】定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，则BN=________；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）如图3，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，点P在边EF上，试探究S△ACN ，S△APB ，S△MBH的数量关系．
S△ACN=________；S△MBH=________；S△APB=________；S△ACN ，S△APB，S△MBH的数量关系是________．
【答案】（1）
或
；（2）证明见解析；（3）见解析.
【解析】
试题（1）分类讨论:当MN为最大线段时;当BN为最大线段时;即已知的两条线段中较长的线段MN可能为斜边或所求的BN也可能为斜边；
（2）由已知“FG是中位线”得BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，由D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD得出EC2=DE2+DB2，再分别代换为2NG、2MN、2FM，约去系数4，即可得出结论；
（3）由三角形面积公式，分别表示出S△ACN、S△MBH、S△PAB，观察3个式子中，出现的AM2、BN2 、MN2，可得S△APB=S△ACN+S△MBH.
试题解析：（1）分两种情况：
①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=
；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=
；
综上所述：BN的长为或．
（2）∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，
∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，
∴EC2=DE2+DB2 ,
∴4NG2=4MN2+4FM2 ,
∴NG2=MN2+FM2 ,
∴点M，N是线段FG的勾股分割点；
⑶∵四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，
∴S△ACN= 
（AM+MN）AC= （AM+MN）AM= AM2+ MNAM，
S△MBH= （MN+BN）BH= （MN+BN）BN= BN2+ MNBN，
S△PAB= （AM+NM+BN）FN= （AM+MN+BN）MN= MN2+ /span>MNAM+ MNBN，
∴S△APB=S△ACN+S△MBH ，
故答案为S△APB=S△ACN+S△MBH ．
