Question

已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4(k-

1

2

)=0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．

Answer 1

分析：（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b²-4ac的值的符号就可以了．
（2）分两种情况讨论：若腰=3，则x=3是方程的一个根，可求得等腰三角形的三边为3，3，2，那么这个等腰三角形的周长及面积即可求．
若底为3，则△=0?k=

3

2

，可求得等腰三角形的三边为2，2，3．那么这个等腰三角形的周长及面积即可求．

解答：解：（1）△=(2k+1)2-16(k-

1

2

)=4k2-12k+9=(2k-3)2≥0（1分）
所以，方程有两个实数根；（2分）

（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2，（3分）
原方程为x²-5x+6=0?x₁=2，x₂=3
即，等腰三角形的三边为3，3，2．（4分）
则周长为8，面积为2

2

（6分）

若底为3，则△=0?k=

3

2

（7分）
原方程为x²-4x+4=0?x₁=x₂=2
即，等腰三角形的三边为2，2，3．（8分）
则周长为7，面积为

1

2

7

（10分）

点评：本题考查一元二次方程根的判别式和等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．