题目内容

某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号,这些运动员随意地站成一个圆圈,则一定有顺次相邻的某3名运动员,他们运动服号码数之和不小于32,请你说明理由.
【答案】分析:由已知,1~19号运动员随意地站成一个圆圈,求出6组有顺次相邻的某3名运动员的号码的和,从每组都小于等于31,得6组的和与计算出6组的和矛盾确定一定有顺次相邻的某三名运动员,他们运动服号码数之和不小于32.
解答:解:设在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1,a2,a3,…,a18,a19
显然a1=1,而a2,a3,…,a18,a19就是2,3,4,5,6,…,18,19的一个排列.
令A1=a2+a3+a4
A2=a5+a6+a7
A3=a8+a9+a10
A4=a11+a12+a13
A5=a14+a15+a16
A6=a17+a18+a19
则A1+A2+A3+A4+A5+A6
=a2+a3+a4+…+a17+a18+a19
=2+3+4+…+17+18+19;
=189(*).
如果A1,A2,A3,A4,A5,A6中每一个都≤31,则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6×31=186,与(*)式矛盾.
所以A1,A2,A3,A4,A5,A6中至少有一个大于31.为确定起见,不妨就是A1>31,即a2+a3+a4>31,但a2+a3+a4是整数,
所以必有a2+a3+a4≥32成立.
所以,一定有顺次相邻的某三名运动员,他们运动服号码数之和不小于32.
点评:此题考查的知识点是推理与论证,同时也考查了学生对问题灵活处理的综合能力.解题的关键是求出6组有顺次相邻的某3名运动员的号码的和,从每组都小于等于31,得6组的和与计算出6组的和矛盾确定一定有顺次相邻的某三名运动员,他们运动服号码数之和不小于32.
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