Question

【题目】如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）.

（1）若∠1=∠3=∠5，求的值；

（2）如图2，已知：AP=AC.

①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；

②若∠1=30°，求证：PB=PC.

Answer 1

【答案】（1）2:5；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意可知∠APC=90°，然后根据相似三角形的判定与性质，结合勾股定理可求解；

（2）①根据等腰三角形的等边对等角，结合三角形的内角和定理可证明；

②过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E， 易得四边形PDCE为矩形，然后根据30°角的直角三角形和线段的垂直平分线的性质可求解.

试题解析：（1）∵AC=BC ∠ACB=90°, ∴∠CAB=∠ABC=45°.

∵∠1=∠3=∠5 , ∴∠2=∠4 ,∴∠APB=180°-（∠2+∠3）=180°-45°=135°，

同理，∠BPC=135°. ∴∠APC=90°

设AC=a，PC=x，则，易证：△APB∽△BPC,∴，

∴， ，在Rt△PAC中， ;∴

∵， ，

∴；

（2）①∵PB=PC，则∠4=∠5，设∠4=∠5=，

∵AP=AC，则∠6=∠APC=90°，即∠1=180°-2（90°）=2，

即∠1=2∠4；

②如图所示，过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，

易得四边形PDCE为矩形，

在直角△APD中，∠1=30°，∴PD=PA，

又AP=AC=BC，∴PD=CE=BC，即PF垂直平分BC，

∴PB=PC.